1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知极限，其中为常数，且，则（ ）（a）（b）（c）（d）（2）曲面在点处的切平面方程为（ ）（a）（b）（c）（d）（3）设，令，则（ ）（a）（b）（c）（d）（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( )（a）（b）（c）（d）（5）设矩阵a,b,c均为n阶矩阵，若（a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价（b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价（c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价（d）矩阵

2、c的行向量组与矩阵b的列向量组等价（6）矩阵与相似的充分必要条件为（a）（b）（c）（d）（7）设是随机变量，且,则（ ）（a）（b）（c）（d）（8）设随机变量给定常数c满足,则（ ）（a）（b）（c）（d）二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数由方程确定，则 (10)已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 (11)设（为参数），则 (12) （13）设是三阶非零矩阵，为a的行列式，为的代数余子式，若（14）设随机变量y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零，则_。三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题

3、纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算其中（16）（本题满分10分）设数列满足条件:是幂级数的和函数，（i） 证明:,（ii） 求的表达式.（17）（本题满分10分）求函数的极值.（18）（本题满分10分）设奇函数上具有2阶导数，且证明:（i） 存在（ii） 存在，使得（19）（本题满分10分）设直线l过两点，将l绕z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，（i） 求曲面的方程（ii） 求的形心坐标.（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（21）（本题满分11分）设二次型，记。（i）证明二次型对应的矩阵为；（ii）若正交且

4、均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为，令随机变量,（i）求y的分布函数（ii）求概率（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知极限，其中为常数，且，则（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】d【解析】（2）曲面在点处的切平面方程为（ ）（a）

5、（b）（c）（d）【答案】a【解析】设，则；，所以该曲面在点处的切平面方程为，化简得，选a（3）设，令，则（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】c【解析】根据题意，将函数在上奇延拓，它的傅里叶级数为它是以2为周期的，则当且在处连续时，因此（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( )（a）（b）（c）（d）【答案】d【解析】 利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域上函数为正值，则区域大，积分大，所以，在之外函数值为负，因此，故选d。（5）设矩阵a,b,c均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ）（a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价（b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价（

6、c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价（d）矩阵c的行向量组与矩阵b的列向量组等价【答案】（b）【解析】由可知c的列向量组可以由a的列向量组线性表示，又b可逆，故有，从而a的列向量组也可以由c的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（b）。（6）矩阵与相似的充分必要条件为（a）（b）（c）（d）【答案】(b)【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。又，从而。（7）设是随机变量，且,则（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】（a）【解析】由知，故.由根据及概率密度的对称性知，故选（a）（8）设随机变量给定常数c满足,则（ ）（a）（

7、b）（c）（d）【答案】（c）【解析】由得，故二、填空题(914小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上)(9)设函数由方程确定，则 【答案】1【解析】 由，当时， 方程两边取对数 两边同时对求导，得将，代入上式，得(10)已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 【答案】【解析】因，是非齐次线性线性微分方程的解，则是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为，因此该方程的通解可写为(11)设（为参数），则 【答案】【解析】， ， ，所以，所以(12) 【答案】【解析】（13）设是三阶非零矩阵，为a的行列式，为的代数余子式，若【答案】

8、【解析】（14）设随机变量x服从标准正

态分布,则= _。【答案】【解析】由及随机变量函数的期望公式知.三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算其中【解析】（16）（本题满分10分）设数列满足条件:是幂级数的和函数，（iii） 证明:,（iv） 求的表达式.【解析】（i）设，因为，因此；（ii）方程的特征方程为，解得，所以，又，解得，所以。17（本题满分10分）求函数的极值.【解析】解得，对于点，为极小值点，极小值为对于，,不是极值.（18）（本题满分10分）设奇函数上具有2阶导数，且证明:（iii）

9、 存在（iv） 存在，使得【解析】（1）令则使得（2）令则又由于为奇函数，故为偶函数，可知,则使即，即（19）（本题满分10分）设直线l过两点，将l绕z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，（iii） 求曲面的方程（iv） 求的形心坐标.【解析】（1）过两点，所以其直线方程为:所以其绕着轴旋转一周的曲面方程为:（2）由形心坐标计算公式可得，所以形心坐标为（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。【解析】由题意可知矩阵c为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组: （1）由于方程组（1）有解，故有，即从而有，故有从而有（21）（本题满分11分）设二次型，记。（i）证明二次型对应的矩阵为；（ii）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。【解析】(1) （2），则1,2均为a的特征值，又由于，故0为a的特征值，则三阶矩阵a的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为，令随机变量,（i）求y的分布函数（ii）求概率【解析】（1）由的概率分布知，当时，；当时，；当时， = (2) （23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.【解析】(1)，令，故矩估计量为.(2) 当时，令，得，所以得极大似然估计量=.