如题：
设 f0 ， x\in [a,b] 。求证: f(\frac{a+b}{2})(b-a)\leq \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)

今日在群

里看见了考研数一的证明题，我深思怎么这么眼熟，正本几个月前做过，是蒲平缓上的标题。其时是用变上限规划函数证的，话不多说，直接开证。
左面，规划函数 f(t)=\int_a^tf(x)\mathrm{d}x-f(\frac{a+t}{2})(t-a)
易知 f(a)=0
\begin{aligned} f(\frac{a+t}{2})) \end{aligned}
其间 \

frac{a+t}{2}<\xi<t
因为 f0
故 f(\frac{a+t}{2})
故 f(t)\geq0 , f(t) 单增， f(a)=0 ,故 f(t)\geq 0
所以左面不等式得证
右边，规划 g(t)=\frac{f(a)+f(t)}{2}(t-a)-\int_a^tf(x)\mathrm{d}x
g(t)}{2}(t-a)
g0
由 g(a)=0,g(a)=0 可得到 g(t)>0
右边得证

弥补一下，如同原题是说证明充要性，也就是说假定晓得左面不等式怎么证明二阶导大于0呢，可以用反证法，因为二阶接连可导，若存在一点使二阶导小于0，则由保号性知存在一个区间使二阶导小于0，因为a,b是任意的，故在这个区间上不等式符号相反，敌对。