好久没有写数学专业的基础课——高级代数（线性代数）的内容了，今日就给读者们共享一些线性代数考研中的一些基础题.

首要说明二次型正定矩阵的充分条件和必要条件：
1、二次型正定矩阵的充分条件
元二次型正定
对任意的有
的正惯性系数
存在可逆矩阵，使
和单位矩阵合同
的特征值
的悉数次序主子式大于
2、二次型正定矩阵的必要条件
和

接下来说明8个比方：
例1 、设为阶可逆矩阵，的特征值为，求
解：由题意得，的特征值为，则的特征值为， 所以：

例2、已知伴随矩阵，求矩阵.
解：
办法一：由伴随矩阵的界说可知所以有接下来别离核算和，有

, 其间,
, 且有
,,
所以，
又因为

综上，.
办法二：关于, 有

所以，,，且有

则由上面两式得,
所以,
关于二阶矩阵， 则
故,,
综上，.

例3、设为三阶方阵，，求的值.
解：
.

例4、设,都是3阶方阵且，谈论的行向量组的线性有关性.
解：假定一个矩阵满秩，则它必定可逆，故用可逆矩阵乘一个矩阵后不改动矩阵的秩，不妨先假定满秩，则，则不契合题意，故不满秩，所以的行向量组线性有关.

例5、设，求矩阵的特征值.
解：设矩阵的特征值为，对应的的特征向量为，则，且

可以得到矩阵有特征值, 对应的特征向量为，即
再由, 方程有个线性无关的解，
此时, 就是矩阵的重特征值，对应个特征向量.
而矩阵至多有个线性无关的特征向量，故矩阵的特征值是和.

例6、设二次型，其间二次型矩阵的特征值之和（矩阵的迹）为1，特征值之积为.
（1）求的值.
（2）使用正交改换将二次型化为标准型，并写出所用的正交改换和对应的正交矩阵.
解：（1） 由题意得，，则,
所以有解得.
（2）已知， 下面核算的特征值，有
所以的特征值为.
关于,，
特征向量，发现两个特征向量正交，故只需令它们单位化即可，所以有,
关于
特征向量, 发现该特征向量与早年的两个特征向量正交，所以只需将其单位化，有.
则正交改换矩阵.

例7、设阶方阵的伴随矩阵，如果非齐次线性方程组的互不相等的解，求其导出组的基础解系所含解向量的个数.
解：阐明的阶子式中至稀有一个不为0，所以有.
若， 则只需零解，与题意敌对.
因而，的解空间为 1 ，基础解系所含解向量的个数为 1 .

例8、设为阶正定阵 ，为的矩阵，证明：若，则为正定矩阵.
解：因为正定，故关于任意,.

且，所以仅有零解，故若，.
此时，
.

最终给出3个操练题供读者操练：
操练1、核算阶部队式

操练2、设是个线性无关的维向量，是两个维向量，每个都和正交，求证线性有关.

操练3、设是阶方阵，是维列向量，若, 证明线性方程组必有非零解.

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